Funzione Convessa
In matematica la funzione convessa può essere definita in diversi modi, tra i quali quelli che conosco sono tre:
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Una funzione quale ha il segmento che congiunge due qualsiasi punti del suo grafico si trova al di sopra del grafico stesso.
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Una funzione che ha la derivata seconda positiva.
Alla prima vista quella che mi ha data più confusione è la terza definizione. Perché questa disequazione strana?
Dimostrazione per la terza definizione:
Per spiegare questo conviene a partire dalla prima definizione: Una funzione quale ha il segmento che congiunge due qualsiasi punti del suo grafico si trova al di sopra del grafico stesso.
NB: z è un punto generale compresso tra x e y
1.siccome z è un punto compresso tra x e y quindi la relazione (z-x)/(y-z) sicuramente è compresso tra l’intervallo [0,1]. Di conseguenza 𝛌 ∈ [0,1]
2.Come si vede dal grafico questa disequazione vale sempre: f( x + (y-x)*𝛌 ) <= f(x) + [ f(y) – f(x) ]*𝛌
3.Se sviluppiamo la disequazione ottenuto nel punto 2. Si può notare che questa diseq è proprio uguale alla 3 terza definizione della funzione convessa elencata sopra.
- f( x + (y-x)*𝛌 ) <= f(x) + [ f(y) – f(x) ]*𝛌
- f( x +𝛌y-𝛌x ) <= f(x) + 𝛌f(y) –𝛌f(x)
- f( x(1-𝛌) +𝛌y ) <= f(x)(1-𝛌) + 𝛌f(y)
Fine, la terza definizione è stata dimostrata. Anche se seconda me questa definizione era più chiaro se fosse scritto cosi:
f( x + (y-x)*𝛌 ) <= f(x) + [ f(y) – f(x) ]*𝛌
