Una forma quadratica (Q) associata ad una matrice simmetrica (A) che ha il segno indeterminato e non ha l’autovalore zero, ammette sempre un vettore non nullo su cui Q è nulla.
Supponiamo che la matrice associata A sia 3*3 e i autovalori sono:
a1 > 0, a2 > 0, a3 < 0
e v1, v2,v3 sono rispettivamente gli autovettori associati.
Procedimento:
Prendiamo un vettore W ∈ span(v2,v3), W = 𝜶*v2 + 𝜷*v3
- W⊤*A* W = <a2*𝜶*v2 + a2*𝜷*v3, 𝜶*v2 + 𝜷*v3>
- = <a2*𝜶*v2 , 𝜶*v2> + <a2*𝜶*v2 ,𝜷*v3> + <a3*𝜷*v3, 𝜶*v2> + <a3*𝜷*v3, 𝜷*v3>
- v2,v3 sono ortogonali fra di loro, quindi prodotto fa zero
- = <a2*𝜶*v2 , 𝜶*v2> + <a3*𝜷*v3, 𝜷*v3>
- = a2* || 𝜶*v2 ||^2 + a3* || 𝜷*v3 ||^2
a2* || 𝜶*v2 ||^2 è un valore sempre positiva
a3* || 𝜷*v3 ||^2 è un valore sempre negativa
Conclusione: è sempre possibile ad trova una combinazione di 𝜶 e 𝜷 tale da mandare la forma quadratica a zero.
